Corso di Costruzioni per Istituti Tecnici indirizzo "Costruzioni Ambiente e Territorio"

Fig. 02 - Baricentro di un sistema di Masse
Baricentro di un sistema masse con la costruzione del poligono funicolare.
Fig. 03 - Sistema di masse discreto
Fig. 04 - Baricentro riferito al sistema assi cartesiani
Fig. 05 - asse simmetria retto/geometrico
Fig. 06 - asse simmetria obliquo
Fig. 07 - asse simmetria deviato
Fig. 08 - Baricentro segmento
Fig. 09 - Baricentro Poligono regolare
Fig. 10 - Baricentro Arco circonferenza
Fig. 11 - rototraslazione assi cartesiani
Fig. 12 - Baricentro Rettangolo
Fig. 13 - Baricentro Triangolo
Fig. 14 - Baricentro Triangolo (calcolo analitico)
Fig. 15 - Baricentro settore circolare
Fig. 16 - Baricentro Semi Parabola
Fig. 17 - Baricentro Segmento Circolare

note

1) "la normale è la perpendicolare abbassata dal punto alla direzione della retta";

2) " Teorema di Varignon: la somma dei momenti di un sistema di vettori calcolati rispetto ad un generico punto P è uguale al momento della risultante calcolato rispetto allo stesso punto P.

Geometria delle Masse: Momento Statico

  1. Definizione "momento statico":

Dato un sistema di masse m1, m2, m3 ...,mn e una retta r, siano d1, d2, d3 ...,dn le distanze(1) delle masse misurate lungo una direzione assegnata (esaminiamo solo il caso distanze normali alla retta r ),  si definisce momento statico o del primo ordine la somma dei prodotti delle masse per le rispettive distanze, (si indica con la lettera maiuscola S seguita da un pedice che indica la retta rispetto alla quale si esegue il calcolo)

Σ → Sommatoria, indica la somma di più quantità (Σ lettera greca "sigma maiuscolo")

Le masse sono quantità sempre positive, le distanze, invece, possono essere positive o negative a seconda che le masse si trovino da una parte o dall"altra della retta r, pertanto, il momento statico può assumere qualunque valore positivo, negativo o nullo (in matematico si dice che può assumere qualunque valore dell"insieme dei numeri reali).

  1. Definizione Baricentro"

Si definisce baricentro il punto dove posso immaginare di concentrare l"intera massa.

Per comprendere cosa sia il Baricentro consideriamo in un piano il sistema di masse omogeneo m1, m2, .., mn e immaginiamo di sostituirle con un sistema di vettori paralleli d"intensità pari o proporzionale alle masse date facendo in modo che i punti di applicazione dei vettori coincidano con i punti dove sono concentrate le masse, se facciamo ruotare le direzione dei vettori, mantenendoli sempre paralleli, attorno ai punti dove sono concentrate le masse, anche le risultanti ruoteranno attorno ad un punto chiamato centro di rotazione delle forze parallele (che non è altro che il punto d"applicazione della risultante). Tale punto è il baricentro del sistema di masse

  1. Clip: baricentro di un sistema masse con la costruzione del poligono funicolare

La distanza del baricentro da una retta r, analiticamente, si determina adattando alle masse il teorema di Varignon(2),

dalla quale si ricava

si osserva che quando il baricentro si trova sulla retta, il momento statico è nullo.

Nel piano, fissato un sistema di assi cartesiani x, y, le coordinate del baricentro si calcolano applicando la 9)

Il baricentro si trova, geometricamente, sempre nel punto intersezione di due assi di simmetria.

  1. Baricentro di un segmento (fig.8)

siano I(xi; yi); J(xj; yj) le coordinate degli estremi del segmento I,J.

La massa corrisponde alla lunghezza del segmento I,Jche misura l"ipotenusa del triangolo i cui cateti sono le proiezione del segmento sugli assi cartesiani (xj-xi) e (yi-yj)

La masse, pertanto, si ottiene con il teorema di Pitagora.

  1. Baricentro di una poligonale regolare (fig.9):

Il baricentro di una poligonale regolare, avente i lati di lunghezza costante "l" circoscritta da una circonferenza di raggio "r";

- considerato un sistema di assi cartesiani con origine nel centro "O" della circonferenza inscritta nella poligonale, si osserva che l"asse y è un"asse di simmetria retta, per cui il baricentro si trova su quest"asse.

l"ordinata del baricentro si determina con la 10)

si osserva che i triangoli BMO e 1B2, sono simili, pertanto

sostituendo nella precedente si ricava:

   
  1. Baricentro di un arco di circonferenza (fig. 10):

il baricentro di un arco di circonferenza AB di raggio "r" che sottende un angolo :

- dato un sistema di assi cartesiani con origine nel centro "O" della circonferenza, asse x // alla corda AB e asse y  coincidente con la bisettrice dell"arco, si osserva che l"asse y è un"asse di simmetria retta, per cui il baricentro si trova su quest"asse (XG = 0);

- l"ordinata del baricentro si determina con la 10)

con riferimento alla fig. 10, si considera il punto M (punto medio) di un arco di circonferenza Δl molto piccolo (in figura l"arco 1-2), Questo arco "molto piccolo" si approssima con la tangente (o la corda dell"arco IJ) con la tangente nel punto M (in fig. il segmento 1-2).

Si osserva che il triangolo NMO (che ha per lati r, l"ascissa e l"ordinata del punto M ) è simile al triangolo 132 (che ha per lati Δl e la proiezione orizzontale e verticale di), pertanto vale la proporzione:

sostituendo nella precedente si ricava:

sostituendo nella precedente si ricava:

ricordando che:

sostituendo si ottiene, infine:

  1. RotoTraslazione assi Cartesiani (fig. 11):

Nel calcolo delle coordinate del BARICENTRO di una poligonale e di un arco di circonferenza si è fatto riferimento ad un sistema di assi cartesiani che hanno origine nel centro dell"arco, asse x // alla corda AB e asse y coincidente con la bisettrice dell"arco.

Dovendo determinare le coordinate del baricentro rispetto ad un sistema di riferimento, sempre con origine del cerchio, ma con assi  x",y" ruotati di un angolo θ si procede con in figura 11, e si ottiene:

Se l"origine del nuovo sistema di riferimento non coincide con il centro dell"arco, le coordinate del baricentro si ottengono sommando alle espressioni precedenti le coordinate del centro.

  1. Baricentro di un Rettangolo (fig. 12):

il baricentro di un rettangolo si trova nell"intersezione degli assi di simmetria (diagonali /mediane), rispetto ad un sistema di asse cartesiani // ai lati del rettangolo, risulta:

m = lx∙ly

xG = (xA+xB+xC+xD)/4

yG = (yA+yB+yC+yD)/4

  1. Baricentro di un Triangolo (fig. 13):

Si definisce baricentro di un triangolo il punto di incontro tra le sue mediane (le mediane in un triangolo sono i segmenti che si ottengono unendo un vertice con il punto medio del lato opposto)

Il baricentro, punto d"intersezione delle mediane, ha la proprietà di dividere la mediana in due parti una il doppio dell"altra; pertanto se si indica con AM la lunghezza della mediana il tratto AG (dal vertice al baricentro) sarà: AG = 2/3·AM, mentre in tratto GM (dal baricentro  al punto medio) risulta GM = 1/3·AM.

per determinare la posizione del baricentro del triangolo note le coordinate cartesiane dei suoi vertici si consideri l"intera massa del triangolo costituita da tre masse unitarie concentrate nei vertici del triangolo stesso.

mA = mB = mC = 1

A (xA;yA)

B (xB;yB)

C (xC;yC)

le coordinate del baricentro si trovano con

YG = Sx/∑m = (m1·yA+m2·yB+m3·yC)/(m1+m2+m3)

XG = Sy/∑m = (m1·xA+m2·xB+m3·xC)/(m1+m2+m3)

ricordando che le masse sono unitarie, le precedenti diventano:

YG =  (yA+yB+yC)/3

XG =  (xA+xB+xC)/3

 

in un triangolo rettangolo di coordinate

A (0;0)

B(0;ly)

C(lx;0)

XG =  (0+0+lx)/3 = lx/3

YG =  (0+ly+0)/3  = ly/3

 

  1. Baricentro di un settore circolare (fig. 16):

per determinare il baricentro di un settore circolare, si ipotizza di dividere il settore dato in tanti "piccoli" settori circolari tali da poterli approssimare a dei triangoli.
Il BARICENTRO di questi triangoli di trova, dal centro del arco, a 2/3 dell"altezza (che possiamo far coincidere con il raggio)

Il luogo di tutti i BARICENTRI di questi "piccoli" triangoli definice un arco di circonferenza CD di raggio pari a 2/3 del raggio del settore AB, pertanto, il baricentro del settore circolare si  ottiene come baricentro dell"arco CD luogo dei baricentri.

m=r²·βrad

xG = 0

yG = 2/3 · r·sen(β)/βrad

  1. Baricentro di un segmento circolare (fig. 17):

il baricentro di un segmento circolare si ottiene dalla differenza tra il settore circolare e il triangolo sottostante.

m = 𝑅²·[𝜗𝑟𝑎𝑑 - 1/2·sin⁡(2ϑ)]

𝑆𝑥 = 2/3·R³·sin⁡³(ϑ)

𝑦G = 4/3·𝑅·sin⁡³(ϑ)/[2·(𝜗𝑟𝑎𝑑 − sin⁡(2ϑ)]