Corso di Costruzioni per Istituti Tecnici indirizzo "Costruzioni Ambiente e Territorio"

1. Definizione "momento d"Inerzia o del secondo ordine":

Dato un sistema di masse m₁ , m₂ , m₃ , ..., m_n e una retta r, siano d₁ , d₂ , d₃ , ..., d_n le distanze₍₁₎ delle masse misurate lungo una direzione assegnata (esaminiamo solo il caso distanze normali alla retta r ),  si definisce momento d"inerzia o del secondo ordine rispetto ad una retta r la somma dei prodotti delle masse per il quadrato delle distanze, (si indica con la lettera maiuscola J seguita da un pedice che indica la retta rispetto alla quale si esegue il calcolo).

Essendo positive sia le masse, sia il quadrato delle distanze, il momento d"inerzia assume sempre valori positivi, (in matematica si dice che può assumere qualunque valore dell"insieme dei numeri reali positivi R⁺).

Σ → Sommatoria, indica la somma di più quantità (Σ lettera greca "sigma maiuscolo")

1. Teorema di Trasposizione (di Huygens-Steiner):

Il Teorema di Trasposizione mette in relazione il momento d"inerzia calcolato rispetto ad una retta generica r con quello calcolato rispetto ad una retta parallela g passante per il baricentro.

Il teorema di trasposizione afferma che il momento d"inerzia rispetto ad una retta generica r si ottiene come somma del momento di inerzia rispetto a all"asse g, passante per il baricentro e il prodotto della sommatoria delle masse per il quadrato della distanza tra gli assi g e r, affermando che tra tutti i momenti d"inerzia rispetto ad un fascio di rette parallele quello calcolato rispetto alla retta passante per il baricentro assume il valore minimo.

1. Definizione "momento d"Inerzia Polare":

Dato un sistema di masse m₁  , m₂ , m₃ , ..., m_n e un sistema di assi cartesiani x, y con origine in un punto 0, siano d₁  , d₂ , d₃ , ..., d_n le distanze delle masse dall"origine dogli assi 0,  si definisce momento d"inerzia polare la somma dei prodotti delle masse per il quadrato delle distanze.

Si osserva che il momento d"inerzia polare è uguale alla somma dei momenti d"inerzia assiali calcolati rispetto agli assi cartesiani x, y con origine nel punto 0.

1. Definizione "momento d"Inerzia centrifugo":

Dato un sistema di masse m₁ , m₂ , m₃ , ..., m_n e un sistema di assi cartesiani x, y con origine in un punto 0, si definisce momento d"inerzia centrifugo la somma dei prodotti delle masse per il prodotto delle rispettive distanze dagli assi cartesiani.

Le masse sono quantità sempre positive, le distanze, invece, possono essere positive o negative a seconda che le masse si trovino da una parte o dall"altra degli assi, pertanto, il momento d"inerzia centrifugo può assumere qualunque valore positivo, negativo o nullo (in matematica si dice che può assumere qualunque valore dell"insieme dei numeri reali R.

1. Cerntro Relativo:

Si definisce centro relativo di un sistema di masse rispetto ad una retta "r", indicandolo con "Cr", il baricentro delle quantità "Sr = mi·di" concentrate negli stessi punti delle masse date.

Essendo le quantità "mi·di" i momenti statici delle masse Il centro Relativo Cr è il baricentro dei momenti statici.

1. Assi Coniugati:

due rette si dicono coniugate quando una passa per il centro relativo dell"altra e viceversa.

1. Raggio d"Inerzia:

Si definisce raggio d"inerzia ρ_g rispetto alla retta g la distanza dalla retta alla quale occorre concentrare l"intera massa «Σm» perché si abbia il momento d"inerzia della effettiva distribuzione di masse

1. Ellisse Centrale d"Inerzia:

Si definisce Ellisse Centrale d’inerzia la curva che si ottiene al variare del raggio d’inerzia calcolato rispetto ad un fascio di rette passanti per il baricentro .

1. Raggio d"Inerzia:

Si definisce Nocciolo Centrale d"Inerzia, o semplicemente nocciolo, la figura il cui perimetro è luogo dei centri relativi a tutte le rette che passano per una massa e lasciano tutte le altre masse da una sola parte.

Per una sezione il Nocciolo Centrale d"Inerzia è la figura il cui perimetro è definito dai centri relativi calcolati rispetto ad un sistema di rette tangenti al perimetro

Le coordinate di un punto sul perimetro del nocciolo rispetto ad un sistema di assi cartesiani con l"asse delle ascisse coincidente con la retta tangente sono: